ทรงกลม (Sphere)

ในทางคณิตศาสตร์ให้ความหมายคำว่า ทรงกลม ดังนี้

รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีผิวโค้งเรียบ และจุดทุกจุดบนผิวโค้งอยู่ห่างจากจุดจุดหนึ่งเป็นระยะเท่ากัน เรียกว่า ทรงกลม

จุดคงที่นั้นเรียกว่า จุดศูนย์กลางของทรงกลม

ระยะที่เท่ากันนั้นเรียกว่า รัศมีของทรงกลม

พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกลม

ทรงกลม คือ ทรงสามมิติที่มีผิวโค้งเรียบ และจุดทุกจุดอยู่บนผิวโค้งอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเป็นระยะเท่ากัน

จุดคงที่ เรียกว่า จุดศูนย์กลางของทรงกลม

ระยะที่เท่ากัน เรียกว่า รัศมีของทรงกลม

พื้นที่ผิวของทรงกลม

พื้นที่ผิวของทรงกลม เป็นสี่เท่าของพื้นที่วงกลม ซึ่งมีรัศมีเท่ากับรัศมีของทรงกลม

ปริมาตรของทรงกลม

ปริมาตรของทรงกลมอาจหาได้จากการทดลองหาความสัมพันธ์ระหว่างปริมาตรของครึ่งวงกลมกับปริมาตรของกรวย

ข้อกำหนด

1) ครึ่งของทรงกลมที่มีรัศมี r หน่วย

2) กรวยที่มีรัศมีเท่ากับครึ่งทรงกลม r หน่วย และส่วนสูงของกรวย (h) เป็น 2 เท่าของรัศมี ฐานของกรวย คือ 2 r หน่วย

วิดีโอ เรื่อง ทรงกลม ตอนที่ 1

วิดีโอ เรื่อง ทรงกลม ตอนที่ 2

ที่มา  :  http://mathonlinefree.blogspot.com/2013/06/13_6884.html

        : http://www.youtube.com/watch?v=yMij6Lr0CYY

           : http://www.youtube.com/watch?v=wXLXYPjYnP8

วันที่ 14 กันยายน 2556

กรวย (Cone)

ในทางคณิตศาสตร์ให้ความหมายคำว่า กรวย ดังนี้

รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปวงกลม มียอดแหลมที่ไม่อยู่ในระนาบเดียวกันกับฐาน และเส้นที่ต่อระหว่างจุดยอดกับจุดใดๆ บนขอบของฐานเป็นส่วนของเส้นตรง เรียกรูปเรขาคณิตสามมิตินั้นว่า กรวย

พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกรวย     

กรวย คือ ทรงสามมิติที่มีฐานเป็นรูปวงกลม มียอดแหลมที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกับฐานและเส้นที่ต่อระหว่างจุดยอดกับจุดใด ๆ บนเส้นรอบวงของฐาน เรียกเส้นตรงนี้ว่า “สูงเอียง”

พื้นที่ผิวของกรวย

การหาพื้นที่ผิวเอียงของกรวย ทำได้โดยตัดกรวยตามแนวสูงเอียงแล้วคลี่แผ่ออกจะเกิดเป็นรูปสามเหลี่ยมฐานโค้ง

ปริมาตรของกรวย

ความสัมพันธ์ของปริมาตรของกรวยกับทรงกระบอก จะเหมือนกับความสัมพันธ์ของปริซึมกับ

พีระมิด ที่มีส่วนสูงและพื้นที่ฐานเท่ากัน นั่นคือ ปริมาตรของกรวย เป็นของปริมาตรของทรงกระบอก ที่มีพื้นที่ฐานและส่วนสูงเท่ากับกรวย

วิดีโอ เรื่อง พื้นที่ผิวและปริมาตรทรงกรวย

ที่มา : http://www.thaigoodview.com/library/contest2553/type1/math03/09/site/page006.html

: http://www.youtube.com/watch?v=pw6KV5Tb210

วันที่ 14 กันยายน 2556

พีระมิด (Pyramid)

ในทางคณิตศาสตร์ ให้ความหมายคำว่า พีระมิด ดังนี้

รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมใดๆ มียอดแหลมที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกันกับฐาน และหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกันที่ยอดแหลมนั้น เรียกว่า พีระมิด

พื้นที่ผิวของพีระมิด

• พื้นที่ผิวข้าง                                

                     

                                         รูปพีระมิด

  

 เมื่อคลี่พีระมิดออกมา จะได้เป็นรูปดังนี้  

          

                                                

พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด ได้แก่พื้นที่ของหน้าทุกหน้าของพีระมิด (ไม่รวมฐาน)  หรือก็คือ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมทุกรูปรวมกัน นั่นเอง

จาก สูตรพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม = ½ × ฐาน × ความสูง             

ดังนั้น                    

สูตรการหาพื้นที่ผิวข้างของพีระมิด 1 ด้าน = ½ × ฐาน × สูงเอียง                       

* ในกรณีที่เป็นพีระมิดตรง (ฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า)              

จะได้ว่า                      

พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = ½ × ความยาวรอบฐาน × สูงเอียง                    

                  

พิสูจน์                     

 พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด  =  พื้นที่สามเหลี่ยมทุกรูปรวมกัน                    

                                 = (พื้นที่สามเหลี่ยม 1 ด้าน) × จำนวนด้านของฐาน ---- จำนวนรูปสามเหลี่ยม จะเท่ากับจำนวนเหลี่ยมหรือด้านของฐาน

                                 = (½ × ฐาน × สูงเอียง) × จำนวนด้านของฐาน                    

                                 = ½ × [จำนวนด้านของฐาน x ฐาน] x สูงเอียง                    

                                  ↓                    

                                 = ½ × [ความยาวรอบฐาน] x สูงเอียง 

•  พื้นที่ผิว                     

พื้นที่ผิวของพีระมิด คือ ผลรวมของพื้นที่ผิวข้างทุกด้านของพีระมิด            
ดังนั้น                    

·         พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้างทุกด้าน                     

 สรุป                    

1)   พื้นที่ของหน้าทุกหน้าของพีระมิดรวมกันเรียกว่า  พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด  

และพื้นที่ผิวข้างของพีระมิดรวมกับพื้นที่ฐานของพีระมิดเรียกว่าพื้นที่ผิวของพีระมิด            

 2)  สูตรการหาพื้นที่ผิวข้างของพีระมิด 1 ด้าน = ½ × ฐาน × สูงเอียง    
                                
 3)  ในกรณีที่เป็นพีระมิดตรง (ฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า)                     

    

     สูตรพื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = ½ × ความยาวรอบฐาน × สูงเอียง      

 4)  สูตรการหาพื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้างทุกด้าน  

วิดีโอ เรื่อง พื้นที่และปริมาตรของพีระมิด

ที่มา  : http://www.mindmap4u.com/edu/read-htm-tid-31-page-e.html

          : http://www.youtube.com/watch?v=UyZQcvQz2no

วันที่ 14 กันยายน 2556

ทรงกระบอก (Cylindrical)

ในทางคณิตศาสตร์ให้ความหมายคำว่า ทรงกระบอก ดังนี้

รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานสองฐานเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการและอยู่บนระนาบที่ขนานกัน และเมื่อตัดรูปเรขาคณิตสามมิตินั้นด้วยระนาบที่ขนานกับฐานแล้ว จะได้หน้าตัดเป็นวงกลมที่เท่ากันทุกประการกันฐานเสมอ เรียกรูปเรขาคณิตสามมิตินั้นว่า ทรงกระบอก

1. ส่วนประกอบของทรงกระบอก

(ซ้าย คือ ทรงกระบอกตรง, ขวา คือ ทรงกระบอกเอียง)

ทรงกระบอกกลวง

2. พื้นที่ผิวของทรงกระบอก

2.1) พื้นที่ผิวข้าง

เมื่อคลี่ส่วนของหน้าตัด และส่วนข้างออกมา จะได้ดังรูป

อธิบายภาพเพิ่มเติม

1) พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก เมื่อคลี่ออกมา เทียบได้กับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ดังนั้น พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก = 2¶rh

2) พื้นที่ฐาน หรือพื้นที่หน้าตัด เป็นพื้นที่รูปวงกลม = ¶r²

2.2) พื้นที่ผิว

·         พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐานทั้งสอง

พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = 2¶rh + 2(¶r²)

เมื่อ  r  แทนรัศมีของฐาน

และ  h  แทนความสูงทรงกระบอก

3. ปริมาตรของทรงกระบอก

·         ปริมาตรของทรงกระบอก = พื้นที่ฐาน × สูง

วิดีโอ เรื่อง พื้นที่ผิวและปริมตรทรงกระบอก

ที่มา :http://www.thaigoodview.com/library/contest2553/type1/math03/09/site/page006.html

  http://www.youtube.com/watch?v=8-20lgy8fU4
  วันที่ 14 กันยายน 2556

ปริซึม (Prism)

ในทางคณิตศาสตร์ ให้ความหมายคำว่า ปริซึม ดังนี้

รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานทั้งสองเป็นรูปเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ ฐานทั้งสองอยู่บนระนาบเดียวกัน และด้านข้างแต่ละด้านเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน หรือเรียกง่ายๆว่า แท่งเหลี่ยมตัน

         

   
    1.การเรียกชื่อปริซึม                    
     

 ปริซึมมีหลายลักษณะขึ้นอยู่กับหน้าตัดของรูปนั้นๆ การเรียกชื่อปริซึมนิยมเรียกชื่อตามลักษณะรูปเหลี่ยมของฐาน

2. ส่วนประกอบของปริซึม  

                                        

3. พื้นที่ผิวของปริซึม

    3.1) พื้นที่ผิวข้าง  

·         พื้นที่ผิวข้างของปริซึม = ความยาวเส้นรอบฐาน × ความสูง  

              

     3.2) พื้นที่ผิว    

       

·         พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่หน้าตัดหัวท้าย                

4. ปริมาตรของปริซึม     

           

·         ปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน × สูง 
      

                  วิดีโอ เรื่องการหาปริมาตรของปรึซึม

ที่มา  http://mathonlinefree.blogspot.com/2013/06/13_6884.html   
        http://www.youtube.com/watch?v=I9aadNBc96M

วันที่ 15 กันยายน 2556